積分　a^x

${\displaystyle \int a^{x}dx}$ ${\displaystyle \left(a>0,a\ne 1\right)}$

指数関数の底を ${\displaystyle e}$ に変換すると(参照)， ${\displaystyle a^x=e^{xloga}}$ となる．これを用いて上式を書き換えると

${\displaystyle \int a^{x}dx=\int e^{xloga}dx}$

となる．

${\displaystyle t=x\log a}$ とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\log a}$ → ${\displaystyle dx=\frac{1}{\log a}dt}$

より，置換積分する．

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{x\log a}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int e^t}\cdot \frac{1}{\log a}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log a}{\displaystyle \int e^t}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{\log a}{e}^t+C}$ ∵ここを参照

変数 $t$ を $x$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{1}{\log a}{e}^{x\log a}+C}$

${\displaystyle =\frac{a^x}{loga}+C}$ ( ${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle e^{xloga}=a^x}$ )

となる．

　

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最終更新日 2025年4月23日